中国的数学教育离数学的基本内容有多远?

文章发布时间:2015/5/26 11:53:52



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相关问题:


1.ZFC,拓扑,测度,这种真正构成数学体系基本框架的东西,和中国高中所学的立几数列微积分,甚至高数里的解几线代,差别究竟在哪里,有多大呢?
2.你认为这种差别是否有必要?也即,从基本的公理和定义出发(手把手教你盖大楼),强调逻辑而淡化计算的数学教育是否可行?
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(关于这个问题的答案,题主心里是有数的,但是本人表达能力有限,实在码不出人能看得懂的东西来)

网友回答:


中国的数学教育离数学的基本内容有多远?因为自己在做一些数学问题所以也会经常思考这样的问题,在这简单说一下自己的看法吧。

我想按照题主的顺序来叙述:

1. ZFC,拓扑,测度,这种真正构成数学体系基本框架的东西,和中国高中所学的立几数列微积分,甚至高数里的解几线代,差别究竟在哪里,有多大呢?

A. 差别:我觉得最大的差别就在于“抽象”的程度和“理论框架大小”的不同。就拿最为人们熟知的”微积分“来说吧,微积分这么学科最重要的在于引入了”微分(导数)“和”积分(定积分,不定积分)“这样的高等运算。那么它们是不是属于数学体系的基本框架呢?当然属于,但是可能正是因为它们是那样的基础和重要以至于现在从事数学研究没有良好的微积分基础是无法想象的。它们变得有点像是一种必备的工具。包括伴随着微积分出现的类似于”收敛性,可求和性,可导性,可积性等等“都成了启发或者刺激其他学科发展的概念。随着时代的发展,我们认识到古典的微积分实际上只是解释了很小的一部分世界。所以,才会在此基础上发展了”测度论“,”拓扑学“等学科。要注意的是,所有的相关教材都会告诉我们,在一些特殊的情况下,测度论和拓扑中的结果都是可以还原回微积分的内容的。并且在刚接触这种”高级的“学科时,心里有着大量”微积分“的例子对于理解抽象的概念很有帮助。可以这样说,微积分的体系已经非常的完备了,并且在教育上也已经有了统一的认识(世界各地的微积分学的教材,内容都差不多,有些更基础,有些更高级一些),那么在这种情况下,为了顺应数学的发展,拓扑,测度等学科成为了”新的基础“。这些新的基础提供了更加宏观的基础和更加高的视角来看待问题。

B. 差别能有多大呢?差别大到能够解决一些扎根于“微积分”这样的基础课程中但是无法由“微积分”的工具自己解决的问题。这样的例子会有很多,随着泛函分析课程的深入你会看到很多这样的情况。

2.你认为这种差别是否有必要?也即,从基本的公理和定义出发(手把手教你盖大楼),强调逻辑而淡化计算的数学教育是否可行?

A. 我认为你的问题实际上不是很准确。我的观点(但是,我觉得有些带有自己工作经验的影子)是:在数学中计算和逻辑是分不开的,某种程度上它们同等重要(数学中的计算和应用中的数值方法是不一样的)。从我观察到的来看,即使是从事算子代数,非交换几何这样的学科,好的计算功底一样必不可少。

例子1: 比如著名的Jacobi's triple product identity:
\left(zq^{\frac{1}{2}},q^{\frac{1}{2}}/z,q;q\right)_{\infty}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(-1\right)^{n}q^{\frac{n^2}{2}}z^n, \ z\ne 0
这个非凡的公式显然看上去似乎只是一个计算的问题。但是如果看其证明,则可以发现其背后的逻辑链条是如此的漂亮。所以我们不能把计算简单的等同为求个导数,算个不定积分这样的问题。即使是求导数和求积分这样的问题,包含的难度和深度也可以产生出最精致深刻的数学。

例子2: Hardy-Hilbert type inequality:
\intop_{0}^{\infty}\intop_{0}^{\infty}\frac{|\ln\left(\frac{x}{y}\right)|^{\beta}f\left(x\right)g\left(x\right)}{\left(x+y\right)^{\lambda-\alpha}\left(\min\{x,y\}\right)^\alpha}\mathrm{d}x\mathrm{d}y<k_{\lambda}(r)\|f\|_{p,\phi}\|g\|_{q,\varphi}
要证明这个不等式,需要一些基本的引理,这些引理就建立在很简单的微积分验算的基础上。而主定理的证明也相对而言需要复杂的计算。但是这种计算过后实际上能够得到这么简洁的一个结果。这种形式的不等式在一些特殊的积分算子理论中是非常重要的。

例子3: 二阶线性偏微分方程的分类与化简。这个在本科阶段最基本的方程问题,实质上就是考验的计算能力。

B. 主观一下,我觉得要学好数学,计算的训练不可少。更何况,纵观数学的历史,计算性的结果,或者依赖于计算性结果的其他结果在数学中的比重是很大的。(我硕士导师研究算子代数粗几何等问题,有时候为了证明一个结果,可能就是需要最最基本的数学分析的技巧。比如,一个不等式,比如一个等式)。如果有好的计算能力,学数学会有很大的帮助的。至于纯粹的逻辑演绎,我也是,参照Bourbaki的退潮。

3. 中国的数学教育离数学的基本内容有多远?
作为读了4年本科数学,2.5年的硕士数学,未来还接着博士的我而言,中国的数学教育还是可以的。基本上到研究生阶段,我们都能够在自己的领域达到学科前沿。当然,要突破前沿十分困难。所以一般还是跟着大师的脚步,我们follow。如果一定要说和“数学的基本内容有多远?”这不是一个很恰如其分的问法。比如,你证明一个定理,用到了集合论的工具(例如,Zorn引理)这只能说明到达了数学的底部,这有可能是一个很深刻且涵盖广泛的结论。但是并不一定是数学的主流哦!所以我觉得我们更应该关心的是,我们中国的数学教育距离能偶培养出领导数学主流学科,或者开创一个主流学科的数学家还有多远。

例子4: 大家都知道Banach不动点定理。这是一个在方程中用途广泛的证明存在唯一性的结果。但是大家有没有关注过:“The Converse of the Banach's fixed point principle”呢?也就是Banach不动点定理的逆问题。
Banach 不动点定理是说:If a mapping U of a complete metric space into itself satisfies the Lipschitz condition with a constant <1, then U has a unique fixed point.

反过来的结论为:Suppose U is a mapping of an abstract set X into itself s.t. each iteration U^n of U has a unique fixed point. Let K be any number with 0<K<1. Then there exist a complete metric \varrho for X s.t. U satisfies the Lipschitz condition with the constant K.

很有意思,也很深刻。这个结论使用了选择公理(the axiom of choice)这样的集合论的结果。但是这个结论以及这个研究方向并不是主流,甚至连支流也算不上。(这类问题还是有零星的文章在发展的,AMS也刊登过类似的文章)

所以,让教育来培养能够把控和发展那些“正在蓬勃发展和以及公认的具有非凡意义的学科(像代数几何)”的人,我觉得是一个更好的方向。基础不基础,并不是一个太值得争论的问题。


回过头来看了一遍,貌似有点跑题了。。。大家凑合着看看吧。。。显示全部


答友:建议题主关注一个学派:布尔巴基

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首先解析一下题目:中国数学教育 数学的基本内容 多远

1、中国的数学教育,高中和大学差别很大,就我个人教育经历,中学数学真的太侧重于技巧;本科教育,其他学校我不是很清楚,作为数学系的,我自认为还是不错的,虽然我们确实很多比不上国外大学(比如教授,比如氛围),但是我们走的路是对的,不像中学数学,根本就是在走邪路好么

2,关于数学的基本内容
首先“ZFC,拓扑,测度,这种真正构成数学体系基本框架的东西”这句话很可疑,ZFC某种程度上是数学的某种基础,而拓扑……ok,你要非说它是分析的基础,我也认了,测度你是要闹哪样?这玩意儿充其量就是实分析(顶多加上复分析)的基础
其次,“和中国高中所学的立几数列微积分,甚至高数里的解几线代,差别究竟在哪里,有多大呢?”差别么,我这么说吧,按照题主的逻辑(我理解的)是不是可以说物理学是所有科学的基础?特别是核物理应该是化学的基础不?但是核物理这门学科还在发展,物理没学好的也有很多是伟大的化学家

就是,ZFC神马的,相当于物理,线代微积分,相当于化学(其实这个例子很不好……)这就是区别,区别多大呢?我作为数学系的学生,我敢说我已经可以去教会一个工科学生线性代数,但是我完全不懂ZFC

3、你认为这种差别是否有必要?也即,从基本的公理和定义出发(手把手教你盖大楼),强调逻辑而淡化计算的数学教育是否可行?
差别是必要的,我的观点是:我们活着,不需要知道人体是怎么工作的;我们思考,不需要知道大脑时怎么思考的;我们学习线代神马的,也不需要知道ZFC

至于后面那种教学方式,参考布尔巴基学派,反正我是觉得这样不可行,理由同上

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我觉得,题主错把数学的基础当成数学的思想了,基础固然重要,但是更重要的是思想,线代和微积分,简直就是整个数学学科数学思想的缩影,不学习他们而去啃ZFC,就算你搞懂了又怎样,就像会算100位数字加减法的计算器,终究只是个计算器


写得很乱很快(手机打字好累TT)有语气不好的地方和语言不同的地方欢迎指正
以及,观点欢迎讨论


答友:学习了有好处!推荐看陶哲轩实分析的前言和《代数学教程》前言,第一问基本就可以自行解决了。
第二问,计算机其实在大学里几乎还在用来打游戏,工程类的计算基本可以解决。理论的笔算还是必须的,当然越强越好嘛。


答友:高中数学跟大学研究生差别很大,但为什么指望中学数学教育讲大学内容呢?

美欧是少数天才自学或提前上大学,论普通学生平均水平未必强于中国。

美国的分析是放在微积分计算的课程后面上的,中国是直接数学分析连算带证。个人认为中国的方式更合理一点。但美国的后续课深。

对于非数学系学生而言,恐怕计算比逻辑还稍重要点。


日本 9月领先指标  日本 9月领先指标  前值:103.5 预期:101.8 实际:101.4

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