如何笔算出ln2?

文章发布时间:2015/6/27 15:26:59



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最好是能用高中数学知识求得,精确4,5位就可以

网友回答:


如何笔算出ln2?楼上两位说的当然是对的,但是收敛太慢了,算到精确到4,5位要算很多项才行。
给一个收敛稍微快一点的。
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}
\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{-x^n}{n}}
两式相减,消掉一些项,然后得到
\ln(\frac{1+x}{1-x})=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2x^{2n-1}}{2n-1}}
带入x=\frac1 3即可,这个收敛的截断误差是指数阶的,算几项就能精确到4,5位了。

不过这样需要假设高中生理解那个级数。。有点难度。。

如果考虑一般高中生的水平,手算能用的函数恐怕仅限有理函数了。这时可以考虑认为ln(2)是1/x在[1,2]上的积分,那么就可以按照黎曼和的方式写出公式来,不过这个比起上面的方法就差远了。。


答友:高中生除了 @王筝 提到的转化成黎曼和的方式之外没有别的办法了。但是在大学,转化成定积分之后有更好的方法。

1.辛普森公式:

计算,结果应该更准确。显示全部


答友:用泰勒公式展开成级数和


答友:我勒个擦,黎曼级数辛普森都是高中知识嘛? 给楼上那些高中就会黎曼,级数以及辛普森公式的大神跪烂了...

弱渣提供一个“正常”高中中学生知识范围内的解法,亲民易懂,只需要明白导数就OK

牛顿迭代:
设个方程,y=e^{x} -2,求ln2等价于求这个方程的零点

随便取一点A做切线,得到其与X轴的交点B,然后对B点重复上述操作就OK了
\Theta_{1}=  \Theta_{0} - f(\Theta_{0}) / f'(\Theta_{0})
\Theta_{2}=  \Theta_{1} - f(\Theta_{1}) / f'(\Theta_{1})
\Theta_{3}=  \Theta_{2} - f(\Theta_{2}) / f'(\Theta_{2})
……

1. 起始点随便取,定义域内就OK。
2. 迭代四五次以后就会收敛,小数点后四五位的话,大概需要迭代十几次吧。


答友:鉴于之前的答案玩乐为主,不符合贵乎一贯的发展要求、前进方向,作为一个死理性派,看着这一坨各种泰勒展开 blahblah 给少不更事的高中生算,——怎么可以这样。于是祭出许多年没用的兵器——草稿纸跟笔,大体上算了一下,感觉应该再写出来给各位围观,顺便 AT 各位觉得原答案没有帮助的,瞅瞅新来的答案再判刑?

(以下算法力求通俗易懂,觉得看不懂的请拿咸鸭蛋扔过来,——微山湖的最好 XD)


由于 e 是个该死的无理数(小数就够烦人了),又由于,假设大家都知道换底公式,或者
\ln 2 = \frac{1}{\log_2 e}
所以我们决定先去算 \log_2 e 了。事实上,以下方法对付以二为底的对数还是比较好用哒,——所以理论上换个底所有对数都可以这样算了(咦似乎“发明”了一种很神(dou)奇(bi)的本领我是不是很棒 ^w^)

首先让我们假定,大家已经知道了以下事实:
\begin{cases}\sqrt{2} = 1.41421356237,\\\sqrt[4]{2} = 1.189207115,\\\sqrt[8]{2} = 1.090507733,\\\sqrt[16]{2} = 1.04427378,\\\sqrt[32]{2} = 1.02189715,\\\cdots\end{cases}
如果你还不知道,戳这里:开2次方可以手算,但开n(n>2)次方有手算的方法吗? - LiTuX 的回答

然后呢,我们执行下面的算法:

* step 0, let a:=2, k:=\sqrt{2}, r:=1, d:=0.5;
* step 1, compare a and e, if |a-e|\le 10^{-4}, finish; Otherwise, if a<e, go to step 2; if a>e, go to step 3;
* step 2, let a:=a*k, r:=r+d, k:=\sqrt{k}, d:=d\div 2;, go to step 1;
* step 3, let a:=a\div k, r:=r-d, k:=\sqrt{k}, d:=d\div 2, go to step 1;

finish,r is now \log_2 e and of course \ln 2 = \frac 1 r.
作为一个给计算机用的算法,上面这个东西简直简单粗暴有(di)效,不过人这么聪明是吧,算法虽然这么写,也可以耍耍小聪明的嘛 ^w^,来大家看看我现在是怎么算的:

先列一个 2 的依次根号迭代出来的数表备用(咳咳,我先用计算器算了,手算太慢 T T),然后:

+ e \div 2 \approx 1.359,接近 \sqrt{2},乘以 \sqrt{2},对应近似值 r \approx 1.5;
+ 2\sqrt{2} \div e \approx 1.04052,接近 \sqrt[16]{2},除之,对应近似值 r \approx 1.4375
+ e \div (2\sqrt{2} \div \sqrt[16]{2}) \approx 1.0036,接近……\sqrt[256]{2} \times \sqrt[1024]{2}\times \sqrt[2048]{2},乘之,对应近似值 r \approx 1.44287109375,对应 \ln 2的近似值为 0.69306260575296(才擦着四位!我这一口老血!!)

好吧,逗比方案简单!!粗暴!!谁用这个方法算我喊他湿傅!

[2015.05.05-20:18 更新完]

======== 原逗比答案 =========
我来讲一个“悲伤”的故事……

初中的时候,因某种原因,流行过一系列的(多功能)科学计算器,各种牌子的、横的竖的黑的银的 blahblah,用两颗锌银电池(AG10)供电,提供常用函数计算、简单的统计功能等……主芯片共有 36 跟引线出来,其中两根接电源,(主要有)三根提供各种不同功能的引线(当然要跟其他线搭配),四根类似行扫描的显示线,以及 24 根(这个数字记不太清了)类似列扫描的显示线,其中有十一根(也记不太清了)复用做功能开关。

(别问我为什么知道这么详细,当年我还记得哪根跟哪根连起来是什么功能你信不信[此处请脑补暴漫的扶额表情])

这种计算器呢,大部分函数啊计算啊的,是直接针对屏幕上显示的数字执行的,于是在当年无聊作死的时候,试过各种“奇思妙想”,比如解个简单的方程啊、找个不动点啊什么的(后来才知道很多是他喵的迭代啊摔!)

然后有一天无聊,心说自然数倒数求和(嗯!就是高中才知道名字的调和级数!)不是据说什么数都能算出来喵?我要不要试一试……

然后就是作死的算了半天……结果怎么样你们猜?










当然是他喵的越来越慢啥也看不出来撂挑子不干了啊摔!(幸好还没脑残到一定要算下去[暴漫捂脸苦笑表情])

然后转念一想,咦要是一个用加一个用减的算,会出来个啥?(当我学到正向级数跟交错级数的时候,瞬间觉得当年的想法帅爆了!)

于是又花了一个下午的时间在算……(来继续猜我看到了啥 ^_^ )







毛线啊!啥**玩意儿啊!白算了这一天……

咦等等,刚刚算的时候一会儿大一会儿小,现在前面几位已经不变了哎(我是不是离发现什么不远了)

又摁了半天,前面稳定下来的几位半天不见增长……于是灵机一动,要不把一大一小取个平均得了,应该能比较接近吧。

取完平均,盯着 那个 0.693147xxx 盯了半天,没觉得之前曾经见过……然后挨个儿试,妄图发现些什么,在按下 exp 指数函数的按键之后,感觉自己发现了新大陆,——

虽然数值不精确,但“小心求证大胆假设”之后,我认为,那个加减交错的东西算到最后,结果应该等于 ln 2。(很多年之后,当我看着数分课本上 ln(1+x) 的展开式,无奈的笑了)

########### 分割线 ############
故事讲完了,所以我是要说什么呢?——暴力算那个级数其实也没多费劲嘛!(尤其是如果我们截断两个再求平均 XD)i.e.,
2*ln 2 \approx (1/1-1/2+1/3-1/4+...+1/n) + (1/1-1/2+1/3-1/4+...+1/n - 1/(n+1) )


@LiTuX 真实经历
注:
------------
1. 计算器提供的随机数(在我还以为随机是“随着机器”的意思时),[2nd f] + [.],范围是 0.000 - 0.999,我试了好几年才知道这是个左闭右开的区间,只有 0 没有 1;
2. 它只能算到 69 的阶乘是因为里面的科学计数法指数只能有两位数字;
3. 我一直以为 -1 真的就是 11111111...111 直到我学了 C 语言;
4. 别怀疑,那个交错级数我最后真的算了差不多一千多项,——当然不是一节课算完的!
5. 逗比的当年不需要解释,我觉得如果没搬家,当年那些折腾“计算器小型化”的手稿还能找得到(就算搬了也很有可能还隐藏在某个角落里);
6. 以及后来在高中的时候,设计过几种不同的“液晶屏”显示方案,——要么把现在用的八块的方式减少一些,要么增加点儿别的什么让它显示字母。
7. 当然还有,八块液晶(除了小数点之外还剩七块啦)显示 26 个拉丁字母外加部分希腊字母的方案我也弄过……

(我真特么无聊[扶额])显示全部


答友: 说段初中黑历史
那时候学校组织我们买Casio的高级计算器,记得好像是90块钱
有一天上数学课,突然灵感来了(shen
you),想到两个相邻的数,大的平方减小的平方,等于这两个数的和!当时我就尿了,牛顿的苹果砸我脑袋上了?!于是拿Casio摆弄了一节数学课,发现我靠没错啊!我tm就是天才啊,结果后来做操还煞有其事的和数学课代表讨论(che dan),接着,我就非常大胆的走向老师办公室,早已YY好初中少年惊天数学大发现名震中国。
然后我废了一大堆话和老师阐述我的定理,他很鼓励的拍了拍我的肩膀,不错,可惜你不是第一个发现的。
再后来呢,我学了方差公式…


答友:果断泰勒公式啊,还可以估计误差,岂不妙哉。


答友:当时在考场上做这一个问做了半个小时并且没做出来的路过…感觉答案不是人能想出来的…详情请参见吉林省2014年数学高考题最后一题最后一问…


答友:2分法啊 ,ln2,就从(0,1)开始分吧,看ln2-0.5大于0小于0,然后一步一步取下去,4,5位不难算。
--------------------
手算了一下,发现这样算精确到4,5位还是蛮难的,大概只能精确到误差1/16


答友:高中知道自然对数的底数大概是多少的人就不多吧


答友:Ln2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\cdot\cdot\cdot


答友:这其实是数学分析书上的一道例题,用的方法也是王筝大神的,这样收敛速度较快。


答友:记得这个题是我们去年高考最后一道大题最后一问,等我上大学后才发现这个题用泰勒神马的真简单啊


答友:楼上捉急,高中生哪里会泰勒级数展开啊,由于InX是单调增的,直接2分法,in2大于0小于1于是取0.5,算e的0.5次方大于2还是小于2。小于2应该在0.5到1于是再取0.75。反之0.25。
问题是e的0.5次方即根号e怎么算,其实不用算,因为e是小于4的。所以根号e小于2,得出结果应该是大于0.5的,于是用0.75,由于e的x次方单调增的,e的0.75次方和2比大小,可以比较e的三次方和2的4次方的大小。一直迭代到需要的精度,貌似不是太难算。


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