用“弦图”求面积

文章发布时间:2015/5/28 6:20:11



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 用“弦图”求面积

 

    同学们,你们好!今天,我们一起来研究“弦图”的知识。

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    这就是一个“弦图”。“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的,中间空出一个小正方形。

    三国时期的吴国数学家赵爽,就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。

    我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系,得到一些面积问题的解题思路。

 

(一)阅读思考

  1. 有一大一小的两个正方形(如下图),对应边之间的距离都是1厘米,如果夹在两个正方形之间部分的面积为12平方厘米,那么大正方形的面积是多少?

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    分析与解答:要想求出图中大正方形的面积,根据公式,只要先求出大正方形或小正方形的边长就行。下面我们就设法求出这两个量中的某个量。

    解这道题有很多种方法;但都要添加辅助线。

    方法1

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    方法2

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    方法3

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    方法4

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    图中两个梯形共12平方厘米,它们每个面积是 用“弦图”求面积 - 知识改变命运 - 武城实验中学2007级10班平方厘米,因为梯形的高是2厘米,所以梯形上下底之和是 用“弦图”求面积 - 知识改变命运 - 武城实验中学2007级10班厘米,上下底之差是2厘米,所以梯形的上底(大正方形边长)是4厘米,所以大正方形面积是 用“弦图”求面积 - 知识改变命运 - 武城实验中学2007级10班平方厘米。

 

  2. 从一个正方形的木板上锯下宽0.5的一个长方形木条以后,剩下的长方形的面积为5平方米,问锯下的长方形木条的面积等于多少?

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    分析与解答:我们可以将四个剩下的长方形这样的木板拼成一个如下图的“弦图”。

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    从图中可以看出,中间的小正方形面积是 用“弦图”求面积 - 知识改变命运 - 武城实验中学2007级10班平方米,大正方形的面积是 用“弦图”求面积 - 知识改变命运 - 武城实验中学2007级10班平方米。

    由于 用“弦图”求面积 - 知识改变命运 - 武城实验中学2007级10班,所以大正方形的边长是4.5。也就是剩下的长方形的长和宽的和是4.5,长与宽的差是0.5。从图中也可以看出,大正方形的边长=小正方形边长+长方形宽×2,所以长方形的宽是2,那么长是2.5。所以锯下的木条的面积是 用“弦图”求面积 - 知识改变命运 - 武城实验中学2007级10班平方米。

 

(二)尝试体验

  1. 四个完全一样的长方形木板,拼成如图的正方形,大正方形周长32厘米,小正方形周长8厘米。求:每块长方形木板的面积和周长。

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  2. 同样大小的长方形纸片摆成下面这样的图形。已知每张小纸片的宽是12厘米,求阴影部分的总面积。

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  3. 四个相同的小长方形,宽是1厘米,它们的面积和是12平方厘米,求正方形ABCD的面积。

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  4. 9张相同的小长方形卡片,摆成一个大长方形,已知每个小长方形的周长是18厘米,宽是4厘米,求大长方形的面积。

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  5. 从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形条后,剩下的那块长方形的面积为336平方分米,原来正方形的面积是多少平方分米?

  6. 计划修一个正方形的花坛,并在花坛周围铺上宽2的草坪,草坪的面积是40平方米,那么修建花坛需占地多少平方米?

 

答案见名师面授!

 

【模拟试题】(答题时间:40分钟)

1、有一条红色的正方形丝巾,它的边长是30厘米,丝巾上横竖各有两道宽均为5厘米的黑条,如图中的阴影部分,则丝巾黑色部分的面积是__________平方厘米。

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2、四个一样的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形,如图,已知大、小正方形的面积分别为8125平方厘米,则长方形的长是___________厘米,宽是__________厘米。

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3、如图,用同样大小的长方形纸片拼成一个大长方形,已知,每张小纸片的宽是8厘米,则阴影部分的面积的和是_________平方厘米。

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4、一个斜边是40厘米的直角三角形,两条直角边之差是6厘米,则这个直角三角形的面积是__________平方厘米。

5、用同样的长方形条砖,在一丛花的周围镶成一个正方形边框,如图,边框的外周长为288厘米,里面的小正方形面积为1600平方厘米,则每块长方形砖的长是_________厘米,宽是___________厘米。

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6、计划修一个正方形的花坛,并在花坛的周围铺上宽4的甬道,甬道的面积是80平方米,那么修建花坛(包括甬道)需占地___________平方米。

7、如图,小长方形的长是宽的2倍,两个长方形对应边的距离是1厘米,夹在大、小两个长方形之间的面积是64平方厘米,则小长方形的面积是__________平方厘米。

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826个长为6厘米的小纸片,摆成如图所示的图形,则阴影部分的面积和是________平方厘米。

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【试题答案】

1、答案:500

  解析:丝巾黑色部分的面积为 用“弦图”求面积 - 知识改变命运 - 武城实验中学2007级10班(平方厘米)。

2、答案:72

  解析:由已知得,大正方形的边长为9厘米,小正方形的边长为5厘米,又因为长方形的长加宽等于大正方形边长,长减去宽等于小正方形边长,

所以长方形的长为(95)÷27(厘米),宽为(95)÷22(厘米)。

3、答案:48

  解析:由原图可知,5个小长方形的长等于3个小长方形的长加3个宽,所以2个小长方形的长等于3个长方形的宽,则小长方形的长为 用“弦图”求面积 - 知识改变命运 - 武城实验中学2007级10班(厘米),

  每个小阴影部分的边长为1284(厘米),

  所以阴影部分面积的和为4×4×348(平方厘米)。

4、答案:391

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  解析:用四个这样的直角三角形拼成如图所示的大正方形。

  大正方形的面积为 用“弦图”求面积 - 知识改变命运 - 武城实验中学2007级10班(平方厘米),

  小正方形的面积为6×636(平方厘米),

一个直角三角形的面积为(160036)÷4391(平方厘米)。

5、答案:2816

  解析:由原图可知长方形砖的2个长加上1个宽为288÷472(厘米),由已知得,小正方形的边长为40厘米,即长方形砖的2个长减去1个宽为40厘米,所以长方形砖的长为 用“弦图”求面积 - 知识改变命运 - 武城实验中学2007级10班(厘米),宽为 用“弦图”求面积 - 知识改变命运 - 武城实验中学2007级10班(厘米)。

6、答案:81

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  解析:如图,小长方形的面积为80÷420(平方米),小长方形的长为20÷45(米),大正方形的边长为459(米),所以修建花坛需占地为9×981(平方米)。

7、答案:200

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  解析:如图,长方形A的面积为(641×4)÷610(平方厘米),长方形A的长为10÷110(厘米),所以小长方形的面积为(10×2)×10200(平方厘米)。

8、答案:8

  解析:由原图可知,3个小纸片的宽等于它的长,所以小纸片宽为6÷32(厘米),每个小阴影部分的边长为小纸片的宽,所以阴影部分的面积和为2×2×28(平方厘米)。

 

 


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