长程力在三维空间必与距离平方成反比如何证明?

文章发布时间:2015/7/3 9:05:15



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我没有思路,但我认为可能是各向同性的空间才会。这样来想,如果精确测量引力和库伦力的指数,如果不精确等于2是不是就可以说明我们所在的空间有高维坍塌的渣滓,或者空间不是绝对的各向同性?

网友回答:


长程力在三维空间必与距离平方成反比如何证明?(我目前的知识只能答“怎么证”。如果其不遵循平方反比定律会发生什么,我的能力有限,暂时无法回答。)

一般用高斯定律来证:如果点电荷的电场随距离不平方反比衰减的话 ,数学上的高斯定律就不可以满足,从而能量就不守恒,因此必须平方反比(学完电磁学的本科生即可证出)。

简单类比一下,一个源在各个方向均匀地释放出粒子,则某一个立体角

以下是猜测部分:
如果在三维空间引力不遵循平方反比定律,那么或者是有其他我们目前无法测到的东西在产生或释放着引力,或者是有其他维度的空间存在。对于四维空间,四维“球”的“体积”(n维球面)为V_{4}=\frac{1}{2}\pi^{2}R^{4},则其“表面积”为S_{4}=2\pi^{2}r^{3}。那么如果跟上一段一样,有个源在四维空间各向同性地喷射粒子,那么粒子的“面”密度就要随着距离立方反比地减少了。因此,如果我们测到的引力是随着r^{-(2+\delta)}减少的,如果\delta>0则有高维空间的存在(\delta=1时为理想的四维空间),如果\delta<0则有低维空间的存在,而\delta=0则为理想的三维空间。


答友:物理只能实验证明。


答友:印象里可以证明只有平方反比可以形成稳定的闭合轨道,还有一个解似乎是一次正比,不随距离衰减。


答友:

题主问的问题好大啊。
长程力是通过场来作用在物体身上的。题主肯定知道并熟悉电磁场,借用法拉第理想出来的场线,从中心物体画出它所产生的长程力场。力场是三维的,这很显然。
我们知道,场线可以描述场的强弱,场线越密集,场强越大。
从一条场线出发,它从中心物体穿到无限远,从最初场线很密集的空间穿到无限远处场线无限稀疏的空间。那么在不同距离上场线密度如何?从中心物体发出的场线是一定的,其中一条场线穿过的空间是由垂直于场线的无数个面组成。如果定义,距离中心物体同一距离的球面,分配给每一条场线,那么随着距离增大,场线分的的面积也将越大,也就是场线密度越小。在不同距离上,场线密度,也就是场强,只能是面积比面积,也就是平方比平方。


答友:经典的情况其实蛮好理解的, 无论是引力场g还是电磁场A, 它们的correlation function都是~1/q^2, q是4-vector, 或者理解成傅里叶变换后的频率. 在非相对论极限的近似下, 可以求出在坐标空间里相互作用的函数就是~1/r^2

btw, 引力或者电磁力之所以叫做长程力, 是因为它们本身没有质量, 所以传播距离是无限远的. 对于有质量的传播子, correlation fucntion是~1/(q^2-m^2), 在非相对论性极限下, 这个作用也就是所谓的汤川(Yukawa)相互作用~Exp(-mr)/r^2, 就变成短程力了, 在1/m的距离就decay了.

btw2, 所谓的平方反比定律, 其实还是经典极限+非相对论极限条件下的, 如果考虑量子修正, 电磁相互作用的传播就不是严格的1/r^2了, 具体可以参见QED的计算


答友:从数学形式上来看,应该是基于lapace方程的对称解(只跟r有关)在n=3时(变量是x,y,z)是1/r+C。
势能函数U是满足Poisson方程,对应齐次方程lapace方程,其基本解即U=1/r+C。而力跟势能函数的梯度成正比,即跟1/r^2成正比。
根据上面分析,其实含有两个假设1是这个力场是各向同性、2是这个力场是保守力场。那只要满足这两个条件的力场都是有平方反比律的。长程力应该是满足的吧


通往成功的路,总是在施工中。 人生不是单纯的加法或减法,薪水才是。 天啊,我的衣服又瘦了! 我喝酒是想把痛苦溺死,但这该死的痛苦却学会了游泳。 土豪,我们做朋友吧! 能认识自己是个什么东西,都是好样的。 尼玛我等了半天你的消息,,结果就一句哈哈,你他妈当我讲笑话呢。 你穿得很危险,但长得很安全。 你淡定是因为你不怕死,我比你淡定是因为我不怕你死。 两个人的感情,

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