为什么四元数没有乘法交换律?

文章发布时间:2015/7/4 23:57:52



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为什么四元数没有乘法交换律?假如我们让它有交换律,我们就有了-1=k^2=(ij)^2=ijij=iijj=i^2j^2=(-1)(-1)=1
题主你觉得这样真的好么……

真要是这样,\mathbb{C}就不能嵌入四元数域了

其实再扩大的过程中我们一直在丢失一些东西,从\mathbb Q\mathbb R我们丢失了可数性,从\mathbb R\mathbb C我们丢失了序结构,从\mathbb C到四元数我们丢失了乘法交换律,从四元数到八元数我们丢失了乘法结合律……


答友:事实上,可以证明有限维可除交换含幺R-代数只有R和C这两种。以下是sketch of proof。详询Hatcher的代数拓扑173页Theorem 2B.5.

(1)设R^n上有一个可除交换含幺R-代数结构,则考虑映射f: S^{n-1} \to S^{n-1}, f(x)=x^2/|x^2|.请验证这个映射是连续的(trivial),然后自然有f(x)=f(-x),从而我们诱导了一个商映射\bar{f}:RP^{n-1} \to S^{n-1}
(2)可除交换合起来推出这个商映射是一个单射,由一个经典的结果(Invariance of Domain)以及一个trivial的点集拓扑的结果(从Compact space到Hasdorff space的单射是嵌入),可以证明从一个紧流形到同维数的连通紧流形的单射必为同胚,从而我们推出RP^{n-1}S^{n-1}同胚,或者S^{n-1}不连通。
(3)上述两种情形分别对应n=2和n=1。前者只要算一些模2同调就可以了,后者trivial。
(4)最后要证明n=2的情形就只有复数域C,这个就是一点简单的代数计算(需要用到含幺)。

Remark:的确有2维的病态的可除交换不同构于C的R-代数(注意,我们不要求含幺了。),比如将乘法定义为z\times w=\bar{zw}。但是从之前的证明能看出,不管是否含幺,可除交换已经保证了n只能是1或者2。


答友:四元数可以对应2x2复数矩阵或者4x4实矩阵,并且用矩阵加法乘法描述其运算。

很明显,矩阵乘法没有交换律。




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